Latihan Soal Deret Geometri

 

Deret geometri adalah sebuah pola bilangan di mana setiap suku berikutnya merupakan hasil perkalian antara suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap. Bilangan tetap ini disebut sebagai rasio atau nisbah. Deret geometri sering kali muncul dalam berbagai bidang, seperti matematika, fisika, ekonomi, dan lain-lain.

Dalam artikel ini, kita akan membahas berbagai jenis latihan soal deret geometri beserta penyelesaiannya. Mulai dari soal-soal sederhana hingga yang lebih kompleks, kita akan mempelajari cara mengidentifikasi dan menyelesaikan setiap masalah yang berkaitan dengan deret geometri.

Jenis-jenis Latihan Soal Deret Geometri

1. Menentukan Suku Ke-n

Salah satu soal dasar dalam deret geometri adalah menentukan suku ke-n dari suatu deret. Rumus untuk menghitung suku ke-n adalah:

a_n = a_1 * r^(n-1)

di mana:

• a_n = suku ke-n
• a_1 = suku pertama
• r = rasio atau nisbah

Contoh soal: Diketahui deret geometri dengan suku pertama (a_1) = 2 dan rasio (r) = 3. Tentukan suku ke-5 (a_5)!

Penyelesaian: a_n = a_1 * r^(n-1) a_5 = 2 * 3^(5-1) a_5 = 2 * 3^4 a_5 = 2 * 81 a_5 = 162

Jadi, suku ke-5 dari deret geometri tersebut adalah 162.

2. Menentukan Jumlah n Suku Pertama

Selain menentukan suku ke-n, kita juga dapat menghitung jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri. Rumusnya adalah:

S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)

di mana:

• S_n = jumlah n suku pertama
• a_1 = suku pertama
• r = rasio atau nisbah
• n = banyaknya suku yang dijumlahkan

Contoh soal: Diketahui deret geometri dengan suku pertama (a_1) = 5 dan rasio (r) = 1/2. Tentukan jumlah 10 suku pertama (S_10)!

Penyelesaian: S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r) S_10 = 5 * (1 - (1/2)^10) / (1 - 1/2) S_10 = 5 * (1 - 0.0009765625) / 0.5 S_10 = 5 * 0.9990234375 / 0.5 S_10 = 9.990234375

Jadi, jumlah 10 suku pertama dari deret geometri tersebut adalah 9.990234375.

3. Menentukan Jumlah Deret Tak Hingga

Dalam deret geometri, jika rasionya kurang dari 1, maka deret akan konvergen (mendekati suatu nilai tertentu). Kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga menggunakan rumus:

S_∞ = a_1 / (1 - r)

di mana:

• S_∞ = jumlah deret tak hingga
• a_1 = suku pertama
• r = rasio atau nisbah

Contoh soal: Diketahui deret geometri dengan suku pertama (a_1) = 10 dan rasio (r) = 1/3. Tentukan jumlah deret tak hingga (S_∞)!

Penyelesaian: S_∞ = a_1 / (1 - r) S_∞ = 10 / (1 - 1/3) S_∞ = 10 / (2/3) S_∞ = 15

Jadi, jumlah deret tak hingga dari deret geometri tersebut adalah 15.

4. Menentukan Rasio Jika Diketahui Dua Suku

Kadang-kadang kita diberikan dua suku dari suatu deret geometri dan diminta untuk menentukan rasionya. Rumusnya adalah:

r = a_n / a_(n-1)

di mana:

• r = rasio atau nisbah
• a_n = suku ke-n
• a_(n-1) = suku ke-(n-1)

Contoh soal: Diketahui dua suku dari suatu deret geometri, yaitu a_3 = 27 dan a_4 = 81. Tentukan rasio (r) dari deret geometri tersebut!

Penyelesaian: r = a_n / a_(n-1) r = a_4 / a_3 r = 81 / 27 r = 3

Jadi, rasio dari deret geometri tersebut adalah 3.

5. Menentukan Suku Pertama Jika Diketahui Dua Suku

Selain menentukan rasio, kita juga dapat menentukan suku pertama (a_1) jika diberikan dua suku dari suatu deret geometri. Rumusnya adalah:

a_1 = a_n / r^(n-1)

di mana:

• a_1 = suku pertama
• a_n = suku ke-n
• r = rasio atau nisbah
• n = indeks suku ke-n

Contoh soal: Diketahui dua suku dari suatu deret geometri, yaitu a_3 = 27 dan a_4 = 81. Tentukan suku pertama (a_1) dari deret geometri tersebut!

Penyelesaian: Kita telah menentukan rasio (r) = 3 pada soal sebelumnya. a_1 = a_n / r^(n-1) a_1 = a_4 / 3^(4-1) a_1 = 81 / 3^3 a_1 = 81 / 27 a_1 = 3

Jadi, suku pertama dari deret geometri tersebut adalah 3.

6. Menentukan Nilai Variabel dalam Deret Geometri

Dalam beberapa kasus, kita diberikan informasi tentang deret geometri dan diminta untuk menentukan nilai dari suatu variabel. Ini membutuhkan pemahaman yang lebih mendalam tentang konsep deret geometri.

Contoh soal: Diketahui deret geometri dengan suku pertama (a_1) = 2 dan rasio (r) = 3. Jika jumlah 5 suku pertama adalah 730, tentukan nilai a_3!

Penyelesaian: Kita dapat menggunakan rumus jumlah n suku pertama untuk menyelesaikan soal ini. S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r) 730 = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3) 730 = 2 * (1 - 243) / (-2) 730 = 2 * (-242) / (-2) 730 = 484

Sekarang kita dapat menentukan nilai a_3 menggunakan rumus suku ke-n. a_n = a_1 * r^(n-1) a_3 = 2 * 3^(3-1) a_3 = 2 * 3^2 a_3 = 2 * 9 a_3 = 18

Jadi, nilai a_3 adalah 18.

Latihan Soal Tambahan

1. Diketahui deret geometri dengan suku pertama (a_1) = 4 dan rasio (r) = 1/2. Tentukan suku ke-8 (a_8)!

2. Diketahui deret geometri dengan suku pertama (a_1) = 8 dan rasio (r) = 1/4. Tentukan jumlah 12 suku pertama (S_12)!

3. Diketahui deret geometri dengan suku pertama (a_1) = 10 dan rasio (r) = 2/3. Tentukan jumlah deret tak hingga (S_∞)!

4. Diketahui dua suku dari suatu deret geometri, yaitu a_5 = 128 dan a_6 = 256. Tentukan rasio (r) dari deret geometri tersebut!

5. Diketahui dua suku dari suatu deret geometri, yaitu a_2 = 6 dan a_4 = 24. Tentukan suku pertama (a_1) dari deret geometri tersebut!

6. Diketahui deret geometri dengan suku pertama (a_1) = 5 dan rasio (r) = 3. Jika jumlah 7 suku pertama adalah 3640, tentukan nilai a_4!

Semoga latihan soal-soal di atas dapat membantu Anda memahami dan menguasai konsep deret geometri dengan baik. Jangan ragu untuk bertanya jika Anda masih memiliki pertanyaan atau kesulitan dalam menyelesaikan soal-soal tersebut.