Menentukan Rasio dan Suku Pertama Barisan Geometri

 

Menentukan Rasio dan Suku Pertama Barisan Geometri

Pengantar

Barisan geometri adalah salah satu jenis barisan bilangan yang sering dipelajari dalam matematika. Barisan geometri memiliki pola di mana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio.

Memahami konsep barisan geometri, termasuk cara menentukan rasio dan suku pertamanya, sangat penting dalam mempelajari matematika, terutama pada tingkat matematika kelas 11. Dengan menguasai topik ini, siswa akan lebih mudah menyelesaikan berbagai persoalan yang berkaitan dengan barisan geometri, baik dalam konteks matematika murni maupun aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari.

Dalam artikel ini, kita akan membahas secara rinci bagaimana cara menentukan rasio dan suku pertama dari suatu barisan geometri. Pembahasan akan dilengkapi dengan contoh-contoh soal dan penyelesaiannya agar lebih mudah dipahami.

Apa itu Barisan Geometri?

Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan di mana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio.

Secara matematis, barisan geometri dapat dinyatakan sebagai berikut:

a, a×r, a×r^2, a×r^3, ..., a×r^(n-1)

Di mana:

• a adalah suku pertama barisan geometri
• r adalah rasio barisan geometri
• n adalah banyaknya suku dalam barisan geometri

Contoh barisan geometri:

• 2, 6, 18, 54, 162, ... Suku pertama (a) = 2 Rasio (r) = 3 (karena setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 3)

• 5, 10, 20, 40, 80, ... Suku pertama (a) = 5 Rasio (r) = 2 (karena setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 2)

Menentukan Rasio Barisan Geometri

Untuk menentukan rasio barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus berikut:

r = a_n / a_(n-1)

Di mana:

• r adalah rasio barisan geometri
• a_n adalah suku ke-n barisan geometri
• a_(n-1) adalah suku ke-(n-1) barisan geometri

Dengan kata lain, rasio barisan geometri adalah perbandingan antara suku ke-n dengan suku ke-(n-1).

Contoh 1: Diketahui barisan geometri: 3, 6, 12, 24, 48, ... Tentukan rasio barisan geometri tersebut!

Penyelesaian: Untuk menentukan rasio, kita dapat menggunakan rumus r = a_n / a_(n-1).

Ambil suku ke-2 dan suku ke-1: r = a_2 / a_1 r = 6 / 3 r = 2

Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah 2.

Contoh 2: Diketahui barisan geometri: 10, 20, 40, 80, 160, ... Tentukan rasio barisan geometri tersebut!

Penyelesaian: Untuk menentukan rasio, kita dapat menggunakan rumus r = a_n / a_(n-1).

Ambil suku ke-3 dan suku ke-2: r = a_3 / a_2 r = 40 / 20 r = 2

Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah 2.

Menentukan Suku Pertama Barisan Geometri

Untuk menentukan suku pertama barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus berikut:

a = a_n / r^(n-1)

Di mana:

• a adalah suku pertama barisan geometri
• a_n adalah suku ke-n barisan geometri
• r adalah rasio barisan geometri
• n adalah banyaknya suku dalam barisan geometri

Dengan kata lain, suku pertama barisan geometri dapat diperoleh dengan membagi suku ke-n dengan r^(n-1).

Contoh 1: Diketahui barisan geometri: 3, 6, 12, 24, 48, ... Tentukan suku pertama barisan geometri tersebut!

Penyelesaian: Untuk menentukan suku pertama, kita dapat menggunakan rumus a = a_n / r^(n-1).

Dari contoh sebelumnya, kita telah menentukan bahwa rasio barisan geometri tersebut adalah 2. Ambil suku ke-5, yaitu 48.

a = a_5 / r^(5-1) a = 48 / 2^(5-1) a = 48 / 16 a = 3

Jadi, suku pertama barisan geometri tersebut adalah 3.

Contoh 2: Diketahui barisan geometri: 5, 10, 20, 40, 80, ... Tentukan suku pertama barisan geometri tersebut!

Penyelesaian: Untuk menentukan suku pertama, kita dapat menggunakan rumus a = a_n / r^(n-1).

Dari contoh sebelumnya, kita telah menentukan bahwa rasio barisan geometri tersebut adalah 2. Ambil suku ke-4, yaitu 40.

a = a_4 / r^(4-1) a = 40 / 2^(4-1) a = 40 / 8 a = 5

Jadi, suku pertama barisan geometri tersebut adalah 5.

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut ini beberapa contoh soal yang dapat membantu Anda memahami cara menentukan rasio dan suku pertama barisan geometri.

Soal 1: Diketahui barisan geometri: 2, 6, 18, 54, 162, ... a. Tentukan rasio barisan geometri tersebut. b. Tentukan suku pertama barisan geometri tersebut.

Penyelesaian: a. Menentukan rasio barisan geometri Untuk menentukan rasio, kita dapat menggunakan rumus r = a_n / a_(n-1).

Ambil suku ke-2 dan suku ke-1: r = a_2 / a_1 r = 6 / 2 r = 3

Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah 3.

b. Menentukan suku pertama barisan geometri Untuk menentukan suku pertama, kita dapat menggunakan rumus a = a_n / r^(n-1).

Ambil suku ke-5, yaitu 162. a = a_5 / r^(5-1) a = 162 / 3^(5-1) a = 162 / 81 a = 2

Jadi, suku pertama barisan geometri tersebut adalah 2.

Soal 2: Diketahui barisan geometri: 8, 16, 32, 64, 128, ... a. Tentukan rasio barisan geometri tersebut. b. Tentukan suku pertama barisan geometri tersebut.

Penyelesaian: a. Menentukan rasio barisan geometri Untuk menentukan rasio, kita dapat menggunakan rumus r = a_n / a_(n-1).

Ambil suku ke-3 dan suku ke-2: r = a_3 / a_2 r = 32 / 16 r = 2

Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah 2.

b. Menentukan suku pertama barisan geometri Untuk menentukan suku pertama, kita dapat menggunakan rumus a = a_n / r^(n-1).

Ambil suku ke-4, yaitu 64. a = a_4 / r^(4-1) a = 64 / 2^(4-1) a = 64 / 8 a = 8

Jadi, suku pertama barisan geometri tersebut adalah 8.

Soal 3: Diketahui barisan geometri: 5, 10, 20, 40, 80, ... a. Tentukan rasio barisan geometri tersebut. b. Tentukan suku pertama barisan geometri tersebut.

Penyelesaian: a. Menentukan rasio barisan geometri Untuk menentukan rasio, kita dapat menggunakan rumus r = a_n / a_(n-1).

Ambil suku ke-3 dan suku ke-2: r = a_3 / a_2 r = 20 / 10 r = 2

Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah 2.

b. Menentukan suku pertama barisan geometri Untuk menentukan suku pertama, kita dapat menggunakan rumus a = a_n / r^(n-1).

Ambil suku ke-5, yaitu 80. a = a_5 / r^(5-1) a = 80 / 2^(5-1) a = 80 / 16 a = 5

Jadi, suku pertama barisan geometri tersebut adalah 5.

Penjelasan lebih rinci:

1. Aljabar:

   • Barisan dan Deret Geometri: Barisan geometri adalah sebuah barisan di mana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio (r). Suku pertama dari barisan geometri sering dilambangkan dengan $a$.
   • Rumus Suku ke-n: Suku ke-n dari barisan geometri dapat dinyatakan sebagai: $$a_n = a \cdot r^{n-1}$$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio.

2. Konsep-konsep Terkait:

   • Rasio (r): Faktor pengali tetap yang digunakan untuk mendapatkan suku berikutnya dalam barisan.
   • Suku Pertama (a): Suku awal dari barisan geometri.

Contoh:

1. Barisan Geometri:

   • Misalkan $a=\mathrm{2\; dan }$$r = 3$ . Maka barisan geometrinya adalah: $$2, 6, 18, 54, \ldots$$ Suku pertama adalah 2 dan rasio adalah 3.

2. Menghitung Suku ke-n:

   • Misalkan ingin menghitung suku ke-4 dari barisan geometri dengan $a = 2$  dan $r = 3$ 
     $$a_4 = 2 \cdot 3^{4-1} = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$$ 

3. Jumlah n Suku Pertama:

   • Jumlah dari n suku pertama barisan geometri adalah: $$S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} \quad \text{(untuk } r \neq 1\text{)}$$ Misalkan ingin menghitung jumlah dari 4 suku pertama dari barisan di atas: $$S_4 = 2 \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \frac{81 - 1}{2} = 2 \cdot 40 = 80$$ 

Penerapan dalam Aljabar:

• Analisis Pola: Memahami dan menganalisis pola yang muncul dalam barisan geometri.
• Perhitungan Deret: Menggunakan rumus-rumus terkait untuk menghitung suku ke-n dan jumlah dari n suku pertama.
• Pemecahan Masalah: Aplikasi dalam berbagai masalah matematika dan ilmu pengetahuan yang melibatkan pertumbuhan eksponensial atau penyusutan.

Kesimpulan

Dalam mempelajari barisan geometri, kemampuan untuk menentukan rasio dan suku pertama merupakan hal yang sangat penting. Dengan memahami konsep ini, siswa akan lebih mudah menyelesaikan berbagai persoalan yang berkaitan dengan barisan geometri.

Secara ringkas, berikut adalah langkah-langkah untuk menentukan rasio dan suku pertama barisan geometri:

1. Rasio barisan geometri (r) dapat ditentukan dengan rumus r = a_n / a_(n-1), di mana a_n adalah suku ke-n dan a_(n-1) adalah suku ke-(n-1).
2. Suku pertama barisan geometri (a) dapat ditentukan dengan rumus a = a_n / r^(n-1), di mana a_n adalah suku ke-n, r adalah rasio, dan n adalah banyaknya suku.

Dengan memahami konsep ini, siswa akan lebih siap untuk menghadapi berbagai persoalan matematika yang berkaitan dengan barisan geometri, baik di kelas 11 maupun di jenjang pendidikan selanjutnya.